МАТЕМАТИКА

уч. предмет в школе, в содержание к-рого входят элементы арифметики, алгебры, начал анализа, евклидовой геометрии плоскости и пространства, аналитич. геометрии, тригонометрии. Преподавание М. направлено на овладение учащимися системой матем. знаний, умений и навыков, необходимых для дальнейшего изучения М. и смежных уч. предметов и решения практич. задач, на развитие логич. мышления, пространств. воображения, устной и письменной матем. речи, формирование навыков вычислений, алгебраич. преобразований, решения уравнений и неравенств, инструментальных и графич. навыков.

М. как уч. предмет отличается от М. как науки не только объёмом, системой и глубиной изложения, но и прикладной направленностью изучаемых вопросов. Уч. курс М. постоянно оказывается перед необходимостью преодолевать противоречие между М. — развивающейся наукой и стабильным ядром М. — уч. предметом. Развитие науки требует непрерывного обновления содержания матем. образования, сближения уч. предмета с наукой, соответствия его содержания социальному заказу общества. Для совр. этапа развития М. — уч. предмета характерны: жёсткий отбор осн. содержания; чёткое определение конкретных целей обучения, межпредметных связей, требований к матем. подготовке учащихся на каждом этапе обучения; усиление воспитывающей и развивающей роли М., её связи с жизнью; систематич. формирование интереса учащихся к предмету и его приложениям.

Первые сведения об обучении детей простейшим вычислениям встречаются в источниках по истории стран Др. Востока. Большое влияние на развитие шк. матем. образования, особенно в странах Европы, оказала матем. культура Др. Греции, где уже в 5 в. до н. э. в связи с развитием торговли, мореплавания, ремёсел в нач. школе изучались счёт и практич. геометрия. Немногие ученики крупных учёных получали геометрич. знания теоретич. характера: напр., в науч. школе Пифагора обучали доказательствам. Значит. вкладом в развитие шк. матем. образования стали учебник арифметики арм. учёного Анании Ширакаци (7 в.; содержал материал по иск-ву счисления), первый систематич. курс алгебры средне-азиат. математика и астронома аль-Хо-резми (9 в.). В 10—12 вв. в нач. курсы школ Европы (в т. ч. и Киевской Руси) включались элементарные матем. знания. С 12—13 вв. в гор. школах Зап. Европы изучались элементы арифметики (коммерч. вычислений и т. п.); геометрия по книгам Евклида (3 в. до н. э.) вплоть до 14—15 вв. изучалась только в нек-рых ун-тах и колледжах. В эпоху Возрождения в содержание обучения в школе кроме элементарных вычислений были включены арифметика, элементы алгебры и тригонометрия. Геометрия занимала вспомогат. место и применялась в основном для лучшего понимания астрономии. Целью изучения М. считалось как общее развитие учащихся, так и использование матем. знаний в нек-рых практич. отраслях, в воен. деле. Уже в 16 в. были опубликованы книги по практич. арифметике и геометрии, к-рые использовались в качестве учебников для купцов и ремесленников. Создание в нач. 17 в. аналитич. геометрии и анализа бесконечно малых сказалось на содержании уч. предмета и методах его преподавания. Расширялось светское шк. матем. образование. Подъём матем. образования в школе происходил в кон. 18 в. На содержание и структуру курса М. оказала влияние школа франц. математиков, к-рые создали новый тип уч. руководств по арифметике, геометрии, алгебре (С. Лакруа, А. Клеро, А. Лежандр, Э. Безу), сблизивших шк. М. с наукой.

В России в нач. 19 в. программы по М. для приходских и уездных уч-щ и гимназий составлялись при участии математика Н. И. фусса и астронома С. Я. Румовского. В уч. план гимназий входили алгебра, геометрия, плоская тригонометрия, аналитич. геометрия, механика и физика. На изучение «чистой» и прикладной М. (вместе с опытной физикой) отводилось по 6 ч в неделю в 1 — 3-х кл., в 3—4-х кл. изучалась статистика. В программу ст. классов гимназии были включены начала математического анализа (о программах по М. для нач. школ см. в ст. Начальное образование).

По Уставу 1828 преподавание реальных наук в гимназиях значительно ослаблялось, прикладная М. упразднялась, «чистая» была основательно сокращена. Циркуляр от 15 дек. 1845 «Об ограничении в гимназиях преподавания математики» предлагал ввести новое «распределение» уч. материала, ставшее первой официально утверждённой программой. Она устанавливала чёткие границы курса М., объём и последовательность изучения материала по классам. В 1851 под руководством М. В. Остроградского была создана программа по М. для воен. уч-щ, а в 1852 — для гимназий. В программе для гимназий особое внимание отводилось решению задач, межпредметным связям, и, несмотря на Значит. перегруженность при отсутствии нек-рых разделов (предел, функция, неравенства), она сыграла прогрессивную роль в становлении и развитии шк. матем. образования в России.

Единая, стабильная общегос. программа по М. (1872), составленная при участии П. Л. Чебышева, представляла собой шаг вперёд по сравнению с программой 1852. В ней повысились требования к изучению теории, усилилась прикладная направленность обучения. Осн. недостаток состоял в том, что гл. целью преподавания считалось формально-умственное развитие учащихся. Реформа гимназич. образования 1890 не затронула содержания курса М.; более рациональное распределение материала по классам повысило доступность обучения, сокращение нек-рых разделов несколько упростило программу. Впервые ей предпосылалась объяснит, записка, к-рая содержала метод. указания, касавшиеся навыков устного счёта, введения отрицат. чисел, разложения многочленов на множители и т. д. Значит. место в записке отводилось преподаванию геометрии, подчёркивалось её значение для развития формально-логич. мышления.

В 19 в. сложилась междунар. традиц. система матем. образования, для к-рой характерны: сформировавшийся курс элементарной М., не отражавший достижений 17—19 вв.; существование особых, преподаваемых эмпирически пропедев-тич. курсов арифметики и частично нач. геометрии, введённых Г. Песталоцци, И. Гербартом и А. Дистервегом. Самостоят. курсы арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии не были связаны друг с другом. Ученик получал готовые знания в единственной логич. системе и должен был усвоить и воспроизвести теорию при решении искусственно подобранных задач. Это была недостаточно эффективная система обучения. М. стала непреодолимым предметом для б. ч. учащихся (до 10% школьников не переходили в след, класс).

К кон. 19-нач. 20 вв. развивается реформаторское движение в шк. матем. образовании. С критикой существовавшей системы образования в числе первых выступили педагоги-математики России и Германии. С. И. Шохор-Троцкий поставил вопрос. о единстве элементарной и высшей М.; В. П. Шереметевский выступил за сближение уч. предмета с наукой, утверждая, что осн. стержнем курса должна стать идея функции. На 1-м Междунар. матем. конгрессе {1897, Цюрих) нем. математик Ф. Клейн обосновал необходимость реформы матем. образования и сформулировал первые её принципы, к-рые легли в основу разработанной под его руководством «Меранской программы» (1905). В России в 1907 были разработаны программы для реальных уч-щ, отражавшие осн. требования сторонников реформы. В 1908 в Риме создана Междунар. комиссия по реформе матем. образования (през. Клейн), организованы 19 нац. подкомиссий (в России — пред. акад. Н. Я. Сонин). На 1-м и 2-м Всерос. съездах преподавателей М. (1911—12, 1913—14, Москва) были заложены основы новой системы шк. матем. образования, созданы журн. «Матем. образование 1912—17), «Матем. вестник» (1914—17). Реформа предполагала сближение уч. предмета с наукой, обновление содержания курсов, широкие межпредметные связи, формирование у учащихся функционально-аналитич., алгебраически-оперативного, конструктивного мышления и т. д. Деятельность сторонников реформы не привела к желаемым результатам, сложившаяся офиц. система шк. матем. образования по существу оставалась без изменения до 1917. В первые годы сов. власти был подготовлен — «Проект примерного плана занятий по М. на первой ступени единой трудовой школы-коммуны» (1918—19), к-рый представлял собой единую программу по М., без деления на предметы, составленную по годам обучения (классам). В неё включались арпфметич. действия над целыми и дробными числами, линейные уравнения, буквенная символика, графики, функциональная зависимость, основы техн. черчения (для гор. школ) и основы геодезич. черчения (для сел. школ). Составители программы чрезвычайно перегрузили её теоретич. материалом, пренебрегая возрастными возможностями учащихся. В 1921 науч.-пед. ин-том Главсоцвоса подготовлены программы, стремившиеся развить творческую активность учащихся, дать им глубокие знания, связать преподавание с жизнью. Однако эти программы были настолько перегружены, что школы вынуждены были составлять свои «программы-минимум». В 1923 введена комплексная система обучения. Из программ школ 1-й и 2-й ступени М. как самостоят. уч. предмет была исключена. В «Новых программах единой трудовой школы» (1924) признавалась чисто служебная роль М., отмечалось, что М. не должна изучаться в школе как «оторванный самодовлеющий» предмет; она служит упражнению детей в счёте и измерении изучаемых ими реальных вещей; и занятия М. начинаются только тогда, когда возникнет необходимость применять её условный и образный язык. В программах школ 2-й ступени матем. материал распределялся по комплексным темам (напр., теорема Пифагора включена в тему «Сов. строй и конституция СССР», отрицат. и дробные показатели — в тему «Империализм и борьба рабочего класса»). Комплексная система обучения связала изучение М. с практич. её приложением, но вместе с тем способствовала нарушению систематичности обучения, принижению роли теории. В соответствии с пост. ЦК ВКП(б) «О нач. и ср. школе» (сент. 1931) в программах для 10-летней школы был восстановлен систематич. курс М. Однако перегруженность программ, отсутствие межпредметных связей привели к необходимости исключения из курса 10-го кл. элементов аналитич. геометрии и матем. анализа; отд. темы этих разделов вошли в курс алгебры. Программы, утверждённые в 1934, без существенных изменений действовали до 1960.

В сер. 20 в. развитие математики и проникновение её в разл. области знания потребовали пересмотра содержания матем. образования, введения новых программ для восьмилетней (I960) и ст. классов ср. школы (1963). Содержание программ 1—4-х кл. существенно не изменилось (нач. арифметика с элементами наглядной геометрии); в курсе М. 6—8-х кл. усилилась функциональная пропедевтика, увеличилось число практич. работ и упражнений на вычисление; с 8-го кл. предусматривалось изучение логариф-мич. линейки. В курсе геометрии сохранялись осн. разделы ранее действовавшей программы. Изменилась программа ст. классов. Курс «Алгебра и элементарные функции» включал нек-рые разделы тригонометрии, гармонич. колебания, производную и её применение к иссл. функций и др. Была исключена комбинаторика. В курс геометрии вошли планиметрия и систематич. курс стереометрии.

Во 2-й пол. 20 в. началось новое междунар. движение за реформу шк. матем. образования, связанное с возрастанием роли матем. методов во мн. областях человеческой деятельности, усилением прикладного значения математики, матем. логики. Реформа имела две тенденции, одна диктовалась преим. прикладными задачами, другая — образовательными и была связана с изменением представлений об удельном весе разл. культурных ценностей, к-рыми должен овладеть человек в процессе обучения. Было выдвинуто неск. проектов программ, уч. пособий, учебников, пытавшихся установить разумное сочетание «классического» и «современного» в содержании шк. М. Напр., амер. программа «9 пунктов», рассчитанная на ст. классы, предполагала подготовку учащихся как в теории, так и в практике дифференциального и интегрального исчисления и аналитич. геометрии; уделяла одинаковое внимание дедукции в алгебре и геометрии, предусматривала разумное использование объединяющих идей (множество, переменные функции, отношения и др.).

Новая программа по М., подготовленная под руководством А. Н. Колмогорова, вводилась в школу в 1969—76. Для неё характерны последоват. введение простейших понятий теории множеств и матем. логики, стремление группировать курс М. вокруг системы стержневых понятий (число, тождеств, преобразования, функция и т. д.). Широко использовались тео-ретико-множеств. и логико-матем. терминология и символика, в т. ч. новая для школы. Курс М. 4—5-х кл. рассматривался как единый, объединяющий элементы арифметики, алгебры и геометрии. Курс алгебры 6—8-х кл. ориентирован на систематич. формирование понятий числа, выражения, функции. Курс геометрии 6—8-х кл. строился на основе геометрич. преобразований, являвшихся не только предметом изучения, но и средством изучения свойств геометрич. фигур. Вводились элементы векторного исчисления (7-й кл.), предусматривалось знакомство с тригонометрич. функциями (8-й кл.). Курс алгебры и начал матем. анализа (9—10-е кл.) отличали строгость изложения, широкое использование матем. символики. Переход на новые программы способствовал проникновению в содержание матем. образования ряда практически важных понятий (производная, вектор и т. д.) и исключению нек-рых архаичных вопросов (напр., типовые арифметич. задачи, именованные числа). Однако реформа матем. образования не привела к желаемым результатам, более того, снизился уровень практич. подготовки выпускников школ. Обучение по новой программе в массовой школе показало, что теоретико-множеств. подход к построению шк. курса М. отличается высокой степенью абстракции, приводит к усложнению в изложении уч. материала, перегрузке учащихся, формализму в знаниях, отрыву обучения от практики. Снизились навыки вычислений, выполнения элементарных алгебраич. преобразований, решения уравнений.

Наличие разл. путей получения общего ср. образования потребовало разработки единых основ матем. подготовки учащихся. В 1981 подготовлена базисная программа по М. для ср. уч. заведений, в 1982 — программы для восьмилетней и ср. школы. Преемственность обеспечивалась за счёт системы опорных матем. знаний, навыков и умений, остающихся относительно стабильными в течение продолжит, времени. При переходе от одной программы к другой, как правило, изменялась лишь трактовка вопросов, последовательность их изучения и система построения курса.

Перестройка системы ср. образования, проводившаяся в связи с реформой ср. общеобразоват. и проф. школы (1984), потребовала усиления мировоззренч. направленности курса М., его воспитывающего воздействия (от формирования у школьников устойчивого интереса к предмету и его приложениям до создания правильных представлений о неразрывной связи М. с практикой, о роли математизации науки и матем. методов в решении практич. хоз. задач); прикладной и практич. направленности; роли самостоят. деятельности учащихся. Особое внимание отводится проблеме компьютеризации обучения, формирования компьютерной грамотности. В программе по М. (1986/87 уч. г.) усовершенствована внутр. структура, проведена разгрузка курсов, перераспределены отд. темы и вопросы по годам обучения. В курсе 5—6-х кл. осн. внимание уделяется созданию условий для формирования вычислит, культуры учащихся, усилен логич. компонент обучения. В курсе алгебры 7—9-х кл. осн. упор делается на формирование алгоритмич. культуры учащихся, выделяется формально-оперативная сторона курса. Трактовка оси, алгебраич. понятий ориентирована на их широкое применение в смежных дисциплинах. В программу этого курса были введены элементы «формульной тригонометрии», предусмотрено ознакомление учащихся с работой на микрокалькуляторе. В курсе алгебры и начал матем. анализа (10—11-е кл.) усилено внимание к интуитивно-наглядному представлению о производной и интеграле, их применению для решения прикладных задач математики и физики; введены нек-рые вопросы, ориентированные на применение математики для описания реальных процессов (понятие о матем. моделировании и др.). В курсе геометрии 10—11-х кл. делается упор на формирование умений конструкторской деятельности, систематизацию логич. навыков учащихся.

В связи с введением (1985/86 уч. г.) курса «Основы информатики и вычислительной техники» в программе по М. усилено внимание к формированию матем. базы для изучения информатики. С этой целью курс М. насыщается примерами алгоритмов решения задач, усиливается логич. составляющая курса. Программа предусматривает раннее знакомство учащихся с микрокалькулятором и его использование в смежных дисциплинах (физика, химия и т. д.).

Дальнейшее совершенствование содержания шк. матем. образования связано с требованиями, к-рые предъявляет к матем. знаниям учащихся практика: пром. произ-во, воен. дело, с. х-во, социальное переустройство и т. д. Движение за гуманизацию, демократизацию и деидеологи-зацию ср. образования, характерное для развития отеч. педагогики 90-х гг., оказало определённое влияние и на содержание шк. матем. образования. Идея дифференциации обучения проявилась в новом качестве — в профилизации ср. школы (особенно её ст. звена). В связи с возникновением в Рос. Федерации относительно нового типа школ (лицеев, гимназий, колледжей и др.) или классов разл. направлений (гуманитарного, техн., экон., физико-матем. и др.) разработаны разные программы по М., рассчитанные на разл. число уч. часов (от 3 до 9 ч в неделю). В программах для разл. типов школ была заложена и разл. номенклатура изучаемых вопросов. Напр., в программу по М. для гуманитарного профиля включены такие разделы, как описательная статистика, элементы теории вероятностей; в программу для техн. профиля — элементы теории игр, элементы линейного программирования и т. п. Рассматриваются возможности и более ранней профилизации общеобразоват. школы, к-рая может внести изменения и в содержание базовой матем. подготовки школьников.

Учебники и учебные пособия по М. Первой рус. уч. книгой по М. была «Арифметика» Л. Ф. Магницкого (1703); в 1739 переведены на рус. яз. «Начала» Евклида. В 1740 издана «Универсальная арифметика» Л. Эйлера, в 1757 — «Универсальная арифметика» Н. Г. Курганова, вытеснившая из школ учебник Магницкого. В 1-й четв. 19 в. преподавание М. велось по трём учебникам: «Нач. основания математики» А. Г. Кестнера (пер. с нем., 1792—94); «Курс математики» Т. Ф. Осиповского (т. 1—3, 1801—23) до 1812 был осн. уч. пособием для гимназий, отличался полнотой и ясностью изложения, но превышал по объёму гим-назич. курс; учебник Н. И. Фусса «Нач. основания чистой математики» (ч. 1—3, 1810—12) стал первым стабильным учебником для гимназий (использовался до 1827). В 30-е гг. для употребления в гимназиях рекомендовались «Руководство к арифметике» (1830) и «Собрание арифметич. задач» (1832) Ф. И. Бус-се, к-рые по сжатости, простоте изложения превосходили существовавшие учебники. Они были продуманы и в метод. отношении: обучение начиналось с простых и наглядных истин, соблюдался постепенный переход к трудным понятиям, объяснения приводились раньше правил. В качестве задачника применялись «Арифметич. листки» П. С. Гурьева (1832), содержавшие 2523 задачи с решениями, расположенные в строгой последовательности от «легчайших к труднейшим». В 1830—80 в гимназиях использовался «Курс чистой математики» Бел-лавеня (пер. с франц., 1824, с доп. и изменениями П. Н. Погорельского).

Знаменат. событием стало появление в 1834 книги Н. И. Лобачевского «Алгебра или вычисление конечных», отличавшейся строго логич. и систематич. изложением. Обучение геометрии в дорев. рус. школе велось по учебникам: «Курс математики» Осиповского (1801—02), «О началах геометрии» Лобачевского (1829—30), «Руководство к геометрии для гимназий» Буссе (1844). Осн. пособиями по тригонометрии были «Нач. основания плоской тригонометрии» Фусса (1804), «Тригонометрия» Ф. И. Симашко (1852), «Элементарная теория тригоно-метрич. линий и прямолинейная тригонометрия» И. Д. Соколова (1853) и др.

Во 2-й пол. 19 в. в гимназиях использовались «Элементарная геометрия в объёме гимназич. курса» (1864) и «Нач. алгебра» (1866) А. Ю. Давидова, «Курс алгебры» (1868) А. Н. Страннолюбского. Осн. учебниками по всем разделам М. были книги А. Ф. Малинина (нек-рые в соавторстве с К. П. Бурениным), объединившие в себе учебник и сб. задач и упражнений. Их отличали ясность и живость изложения в сочетании с матем. строгостью. При объяснении каждого действия указывались его значение и те вопросы, к-рые могли быть решены с его помощью; каждый параграф заканчивался рядом вопросов, требовавших иногда самостоят. вывода из прочитанного. С 90-х гг. 19 в. в школе используются учебники А. П. Киселёва.

После Окт. революции преподавание М. в ср. школе в основном велось по переработанным учебникам Киселёва (арифметика, алгебра, геометрия) и Н. А. Рыбкина (тригонометрия). После 1945 стабильными стали учебник Киселёва и задачники: по арифметике Е. С. Березан-ской, алгебре Н. А. Шапошникова и Н. К. Вальцева, геометрии Рыбкина. К переработке и редактированию шк. учебников были привлечены видные педагоги-математики А. Я. Хинчин и Н. А. Глаголев. Ставилась задача — сделать каждый учебник единым логич. систематизированным целым. Для этого в содержание включался материал, к-рый мог быть усвоен только в ст. классах; он набирался мелким шрифтом и при первом чтении учебника опускался.

В 50-е гг. вышли новые учебники, к составлению к-рых были привлечены учителя-математики: сб. задач по арифметике С. А. Пономарёва и Н. Н. Сырнева; учебник по алгебре для 6—7-х кл. А. Н. Барсукова и сб. задач П. А. Ларичева; учебник по геометрии для 6—7-х кл. H. H. Никитина и сб. геометрич. задач Никитина и Г. Г. Масловой; учебник по тригонометрии С. И. Новосёлова и сб. задач П. В. Стратилатова. В 1954 введены учебники арифметики для нач. школы А. С. Пчёлко и Г. Б. Поляка; для 4—5-х кл. — Н. И. Шевченко. В 60 с гг. изданы «Арифметика» И. К. Андронова, и В. М. Брадиса, учебники по алгебре Д. К. Фаддеева и И. С. Сомин-ского; П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова; по геометрии Д. И. Перепёл-кина, А. И. Фетисова; по тригонометрии Б. Б. Пиотровского, А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника и др. После 196& изданы учебники по М. для 1—3-х кл. М. И. Моро и др. и для 4—5-х кл. Н. Я. Виленкина и др.; по алгебре для 6—8-х кл. Ю. Н. Макарычева и др.; по геометрии для 6—8-х кл. Колмогорова и др.; по алгебре и началам анализа для 9—10-х кл. Колмогорова и др.; по геометрии для 9—10-х кл. 3. А. Скопеца и др. В 1979 разл. авторскими коллективами подготовлены пробные учебники. Пробный учебник по геометрии А. В. По-горелова был утверждён в качестве общесоюзного (1982). С 1990 в школах Рос. Федерации применяются параллельные учебники. По алгебре для 7—9-х кл. — учебники под ред. С. А. Теляковского и учебники Ш. А. Алимова и др.; по геометрии для 7—9-х и для 10—11-х кл. — учебники А. В. Погорелова и учебники Л. С, Атанасяна и др.; по алгебре и началам анализа для 10—11-х кл. — учебники под ред. А. Н. Колмогорова и учебники Алимова и др. Изданы эксперим. учебники для классов разл. профилей (напр., для физ.-мат. — учебники по геометрии А. Д. Александрова и др.; для гуманитарного профиля — учебники математики В. Ф. Бутузова и др.).

Методика преподавания М. начала разрабатываться Я. А. Коменским. Нек-рые вопросы нач. обучения арифметике рассмотрены им в «Великой дидактике» (1657). Методика обучения счёту раскрывалась в «Руководстве учителям первого и второго классов нар. уч-щ, Рос. империи» Ф. И. Янковича (1783).

Методика обучения М. впервые выделилась как самостоят. дисциплина в книге И. Г. Песталоцци «Наглядное учение о числе» (1803, рус. пер. 1806). В 18- нач. 19 вв. метод. вопросы излагались в основном в учебниках. Первым пособием по методике М. в России стала книга Буссе «Руководство к преподаванию арифметики для учителей» (1831). Создателем рус. методики арифметики для нар. школы считается П. С. Гурьев, к-рый критерием правильности решения метод. проблем признавал опыт и практику. Большое значение для постановки преподавания арифметики в рус. школе имели «Методика арифметики» В. А. Евтушевского (1872), метод. пособия для учителей и учащихся А. И. Голеденберга (1885). Крупнейшим методистом математиком дореволюц. России был Шохор-Троцкий. Разработанный им «метод целесообразных задач» используется в совр. школе Рос. Федерации. Методы Шохор-Троцкого рассчитаны на то, чтобы сберечь силы ребёнка, пробудить в нём интерес и любознательность, поддержать самодеятельность и самостоятельность. Первый труд по методике геометрии принадлежит А. Н. Острогорскому («Материалы по методике геометрии», 1883), Методика алгебры разрабатывалась в трудах Страннолюбского, В. П. Ермакова, Шереметевского, К. Ф. Лебедин-цева и др.

Разработке сов. методики преподавания М. способствовала организация секции методики М. в Программно-метод. ин-те (осн. в 1931). Были изданы «Методика арифметики» Шохор-Троцкого (1935), «Методика алгебры» И. И. Чистякова (1934), «Геометрия. Метод. пособие» Р. В. Гангнуса и Ю. О. Гурвица (1934—35).

К 1950 вышли «Алгебра» (книга для учителя) В. Л. Гончарова (ч. 1—2, 1949- 1950), метод. пособия В. М. Брадиса, Д. И. Перепёлкина, Н. Ф. Четверухина, А. И. Фетисова и др. В 1960—80 изданы: «Методика преподавания математики в восьмилетней школе», под ред. С. Е. Ляпина (1965), «Методика преподавания математики в ср. школе» Ю. М. Колягина и др. (1975; ), «Методика обучения математике в 4—5-м классах» Е. И. Лященко, А. А. Мазаника (1976),

«Дидактика математики» Н. В. Метельского (1975). Изд-во «Просвещение» выпускает серии книг «Библиотека учителя математики», брошюр для учителей по актуальным вопросам методики М. и брошюры для учащихся. К каждому действующему учебнику издаётся комплект уч.-метод. пособий, включающий книгу для учителя, дидактич. материалы, таблицы и т. д. Изд-вом «Наука» выпущен ряд книг по М. ведущих учёных-математиков (С. М. Никольского, Л. С. Понтрягина, А. Н. Тихонова) для учителей и учащихся ст. классов. Большую метод. помощь учителям оказывает журн. «Математика в школе» (осн. в 1927, до 1936 выходил под др. названиями). Среди учащихся и учителей популярен журн. «Квант» (1970), освещающий, в частности, вопросы совр. математики.

Отеч. методика преподавания М. строится на основе дидактич. принципов обучения, с учётом возрастных и индивидуальных возможностей учащихся. Широко используются методы целесообразных задач, эвристич. и вопросно-ответный, самостоят. работы учащихся. Большое внимание уделяется упражнениям в решении задач, доказательстве теорем, устном счёте и т. д., работам измерит., расчётного и конструктивного характера, графическим (с построением и анализом графиков, схем, таблиц, диаграмм); моделированию — построению моделей задач, теорем. Важное место на уроках М. отводится работе на микрокалькуляторе, тренажёре и т. д.

Межпредметные связи реализуются не только в содержании, но и при использовании приёмов и методов обучения. В распоряжении учителя М. имеются разл. средства обучения, наглядные уч. пособия (модели, таблицы, чертежи и пр.), выпускаемые пром стью, и самодельные, изготовленные учащимися на практич. занятиях. Возрастающая роль ТСО, наглядных пособий приводит к необходимости создания в каждой школе специа-лизиров. кабинетов М. Перспективна организация в школах автоматизиров. классов.

Внеклассная работа по М. является одной из форм индивидуализации обучения. Различают занятия с отстающими учащимися (доп. занятия) и занятия с учащимися, проявляющими к М. повышенный интерес и способности. Тематика внеклассных занятий по М. не ограничивается углублённым изучением программных вопросов, а также ист. экскурсами по той или иной теме, решением задач повышенной трудности. В их тематику включается знакомство с новыми направлениями в науке: комбинаторика, теория вероятностей и пр. Повышению интереса учащихся к М. способствуют факультативные и кружковые занятия, викторины, конкурсы и олимпиады, ма-тем. вечера, экскурсии и т. д. Большой популярностью среди учащихся пользуются юношеские матем. школы, заочные матем. школы и др., матем. школы при крупнейших ун-тах.

Преподавание М. в зарубежной школе. Разл. варианты теоретико-множеств. построения шк. курса М., характерные для заруб. школы 60—70-х гг., за последнее десятилетие практически исчерпали себя, особенно в массовой школе.

В школах развитых стран Значит. место в программах по М. отводится теории вероятностей и статистике. В программах школ Японии раздел «Статистика» является основным уже в 1-м кл. нач. школы. Элементы теории вероятностей на строгой матем. основе вводятся в ст. классах школ Бельгии и Франции. Геометрия как самостоят. уч. предмет во мн. школах не изучается, отд. её вопросы включены в курс арифметики, алгебры и начал матем. анализа. Распространившееся с 60-х гг. в среде учителей математики (США, Великобритании и др. стран) требование «Евклид должен уйти!» явилось реакцией на неудовлетворённость традиц. системой изложения геометрии. Концепция аксиоматич. изложения курса (60-е гг.) не оправдала себя. В большинстве развитых стран матем. образование на ст. ступени общеобразоват. подготовки дифференцировано, условно разделено на 4 группы: программы академич. потоков, общих потоков, технич. (с усилением прикладного аспекта курса) и проф.-технических. В число курсов по выбору на академич. потоке входят «Статистика», «Линейная алгебра», «Информатика» и т. д. В нек-рых странах (напр., в Японии) распространены небольшие интегриров. спец. курсы — по физике, биологии, химии, иллюстрирующие роль М. в описании и изучении явлений и фактов. В кон. 60-х гг. широкое распространение в США, Австралии и др. странах получила идея создания интегриров. естеств.-матем. курсов («Землеведение», «Природа и человек», «Земля и естеств. науки» и др.). В классах, где обучение М. не является обязательным, или «элитных» школах сохраняется высокий теоретич. уровень матем. подготовки учащихся. Объём знаний выпускников ср. школ определяется программами вступит, экзаменов в вузы (для каждого вуза они различны).

Во Франции, в соответствии с новой программой, уже в нач. классах (учащиеся в возрасте 6—11 лет) вводятся элементы алгебры, элементарные теоретико-множеств. понятия, развиваются первые топологич. представления учащихся, закладываются основы логич. мышления. В ср. классах усилено внимание к изучению функций, геометрич. преобразований, векторов. Теоретико-множеств. понятия и элементы матем. логики не являются предметом самостоят. изучения, а служат основой для объединения разл. тем. Матем. подготовка в ст. классах (возраст учащихся 15—18 лет) дифференцируется в соответствии с профилем специализации. Однако независимо от специализации выпускники франц. ср. школы получают Значит. ооъём сведений по матем. анализу и теории вероятностей. На всех ступенях обучения большую роль играет развитие функциональных представлений, овладение матем. методами, формирование исследоват. навыков.

Номенклатура содержания шк. курса М. в странах Вост. Европы практически одинакова, однако в способах его изложения в учебниках и методах преподавания в каждой стране имеются особенности, представляющие известный интерес. В школе Польши традиционно сохраняется достаточно высокий теоретич. уровень курса М. (в т. ч. за счёт изложения элементов теории множеств). Преподавание М. в школе Чехии и Словакии отличается ориентацией на жизненные, практич. ситуации. В школах Болгарии уже с нач. классов последовательно проводится алгебраич. пропедевтика; в 7- 8-х кл. учащиеся знакомятся с теоретико-множеств. подходом, элементами логики, разл. связями М. с др. уч. предметами и практикой. С введением курсов профориентац. типа по выбору учащихся возросли возможности организации спец. занятий со школьниками, имеющими интерес, склонности и способности к М., в кружках, школах, лекториях Союза математиков Болгарии, физ.-мат. классах, матем. гимназиях и т. д.

В школах Венгрии с 1978/79 уч. г. помимо традиц. тем изучаются комбинаторика, аналитич. геометрия, вычислит, техника и др. В обучении приёмам анализа и синтеза осуществляются межпредметные связи, применяются методы моделирования. Особенностью венг. программы является определённая дифференциация в изучении отд. вопросов: весь уч. материал для гимназий делится на 2 части — основную (обязательна для всех учащихся) и дополнительную. Для каждого класса существует 2 учебника по М.: один написан традиционно, другой соединяет в себе учебник и рабочую тетрадь с печатной основой и предназначен для более цельного приобретения новых знаний, их закрепления и систематизации. В нём содержатся задания, рассчитанные на обязательное самостоят. выполнение всеми учащимися как на уроке, так и дома. В 80-е гг. наметилась тенденция к сокращению кол-ва часов на изучение М., к-рое компенсируется более глубоким изучением предмета и развитой системой факультативных курсов. Лит.: Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей, пер. с нем., т. 1—2, М.-Л., 1933—342; Андронов И. К., Полвека развития шк. матем. образования в СССР, М., 1967; его же, Три этапа в развитии междунар. шк. матем. образования в XIX — XX вв., МШ, 1967, № 4;Маркушевич А. И., К вопросу о реформе шк. курса математики, там же, 1964, № 6; Соболев С. Л., Преподавание математики в Сов. Союзе, там же, 1973, № 1; История матем. образования в СССР, К., 1975; Хрестоматия по истории математики, [т. 1 — 2], М., 1976—77; Г и с д с н-к о Б. В., Математика и матем. образование в совр. мире, М., 1985; Метель-с к и и Н. В., Дидактика математики, Минск; Столяр А. АПедагогика математики, Минск, 19S63; С о и с p У. У., Прелюдия к математике, пер. с англ., М., 1972; его же, Путь в совр. математику, пер. с англ., М., 1972; Фройденталь Г., Математика как пед. задача, ч. 1 — 2, М., 1982—83; Математика. Уч. пособие для студентов пед. ин-тов, М., 1977; Методика преподавания математики в ср. школе. Частные методики, М., 1977; Методика преподавания математики в ср. школе. Общая методика. Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр, М., 1985; II о и а Д., Как решать задачу, пер. с англ.,

M., 1962; Кудрявцев Л. Д., Совр. математика и ее преподавание, M.; Л о и д С., Матем. мозаика, пер. с англ., M.; Фридман Л. М., Учитесь учиться математике, М., 1985; О л с х-ник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К., Старинные занимат. задачи, М. 1985; Оборудование кабинета математики, M.; Верченко А. И., Матем. подготовка выпускников ср. школы Франции, МШ, 1981, N 2; Л а х т и — и с и В. Э., Система матем. образования в Финляндии, там же, 1982, № 3; С а б о А. М., Преподавание математики в школах ВНР, там же, 1984, N 4; Ганчев И., Кучинов И., Обучение математике в НРБ. там же, 1985, № 6. Ю. М. Калягин.